Laboratoire de Physique
Theorique d'Orsay

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Recherche / Research > Physique mathématique / Mathematical physics Dernier ajout : lundi 31 juillet 2017.

Physique mathématique / Mathematical Physics

Ce groupe de recherche développe et utilise différents types de théories et de méthodes mathématiques (algèbre, algèbre homologique, combinatoire, géométrie différentielle, topologie, géométrie non commutative, analyse fonctionnelle, équations aux dérivées partielles...) relatives à des problématiques variées reliées à la physique : théorie des champs et physique des hautes énergies, gravité quantique, matière condensée, équation de Schrödinger et théorie de la diffusion...

This group aims at developing and using different kinds of mathematical theories and methods (algebra, homologic algebra,combinatorics, differential geometry, topology, non-commutative geometry, functional analysis, partial differential equations...) related to physics problems : field theory and high energy phsics, quantum gravity, condensed matter, Schrödinger equation and scattering theory...


Gravité quantique

Formuler une théorie quantique de la relativité générale et donc de la gravité reste un défi pour la physique théorique. Une voie d’approche nouvelle, dite des tenseurs aléatoires a été développée ces dernières années au LPT. Elle généralise l’approche à la gravité quantique à deux dimensions par les matrices aléatoires et se situe également à l’intersection de plusieurs autres approches, telles que théorie des champs de groupe (version seconde-quantifiée de la gravité à boucles), triangulations dynamiques et. Elle s’appuie sur une discrétisation de l’espace temps dans laquelle des triangulations aléatoires colorées apparaissent comme duales aux graphes de Feynman d’une théorie des champs tensorielle. A l’aide d’un nouveau type de développement dit 1/N, on a pu découvrir des modèles de théories des champs tensorielles renormalisables, qui généralisent la théorie non-commutative des champs et pourraient mener à la compréhension de notre espace-temps comme un phénomène émergent.

Géométrie non commutative

La géométrie non commutative tire son origine de la mécanique quantique, dans laquelle les observables engendrent une algèbre non commutative. En géométrie différentielle non commutative, les algèbres de fonctions différentiables sur les variétés sont remplacées par des algèbres non commutatives que l’on interprète comme les algèbres de fonctions différentiables sur des "variétés non commutatives". Le groupe de physique mathématique du LPT est l’un des groupes fondateurs de la géométrie non commutative. Dans cette nouvelle géométrie, il est possible de définir des champs de jauge sur un "espace non commutatif", ainsi que des métriques. Certaines de ces théories de jauge s’interprètent naturellement en termes de théories de jauge ordinaire avec champs de Higgs. Les travaux de recherche au LPT consistent à étudier ces nouvelles géométries, à les enrichir de nouvelles structures, et à appliquer ces nouveaux outils à la physique fondamentale en ayant en vue la formulation d’une théorie quantique de l’espace-temps et de la matière.

Groupes quantiques

La théorie des groupes quantiques et de leurs représentations joue un rôle important en mathématique et en physique mathématique. Son étude a été entreprise au LPT dès la création de cette théorie qui est par ailleurs une branche de la géométrie non commutative. Les recherches actuelles au LPT portent sur la théorie des représentations des groupes quantiques de types infinis, tels que les algèbres quantiques affines et toroïdales, sur les algèbres de Lie quantiques et par dualité sur les calculs différentiels sur les groupes quantiques, sur la généralisation des classes caractéristiques et de l’homomorphisme de Weil pour les "fibrés quantiques" avec groupes quantiques comme "groupes de structure". Une nouvelle famille de groupes quantiques liés à la géométrie algébrique non commutative a été introduite.

Algèbre homologique et généralisations

Avec l’intervention des méthodes BRS, l’algèbre homologique fait partie des théories mathématiques utilisées fréquemment en physique théorique. Le LPT a contribué à la détermination de la cohomologie locale BRS des théories de jauge ainsi qu’à la description homologique des systèmes dynamiques contraints.

Très récemment la théorie des N-complexes et la généralisation correspondante de l’homologie se sont considérablement développées. Des exemples de tels N-complexes interviennent en liaison avec les théories de jauge de spins élevés : ce sont les N-complexes de champs tensoriels ayant des symétries de Young mélangées (tableaux avec N-1 colonnes). Une autre classe est constituée par les N-complexes associés canoniquement aux algèbres homogènes qui sont des prototypes d’algèbres de coordonnées pour la géométrie algébrique non commutative.

Théorie constructive

La théorie constructive a pour but de sommer rigoureusement la théorie des champs perturbative. Les applications peuvent porter sur la physique des hautes énergies ou la matière condensée. En matière condensée, le critère de Salmhofer pour les liquides de Fermi en interaction en dimension 3 au dessus de leur température critique de condensation est étudié de manière non-perturbative. La méthode dite de développement de vertex à boucles est une méthode constructive développée au LPT qui est adaptée à l’étude d’interactions non-locales. Les applications peuvent porter aussi bien sur la gravité quantique que sur la théorie des champ non commutative ou la matière condensée La mécanique statistique sur graphe aléatoire est aussi étudiée comme application de la théorie des tenseurs aléatoires.

Equations aux dérivées partielles non linéaires

Les recherches menées au LPT ont porté sur les problèmes mathématiques posés par un certain nombre d’équations non linéaires (plus précisément semi-linéaires) d’intérêt physique : équations de Schrödinger et de Klein-Gordon non linéaires, équations de Hartree, systèmes d’équations couplées comme le système de Zakharov ou le système de Maxwell-Schrödinger. Les problèmes traités sont principalement le problème de Cauchy, local ou global en temps, et le problème de la diffusion, c’est-à-dire de l’existence des opérateurs d’ondes et de la complétude asymptotique dans les rares cas où elle est accessible. Après des travaux sur l’équation de Schrödinger non linéaire en dimension quelconque et avec des interactions d’un type général, les recherches actuelles portent principalement sur la diffusion à longue portée et la construction des opérateurs d’ondes modifiés pour le système de Maxwell-Schrödinger, qui décrit une particule quantique chargée en interaction avec son propre champ électromagnétique.


This research group develops and uses different theories and mathematical methods (algebra, homologic algebra, combinatorial theory, differential geometry, topology, non commutative geometry, theories of functions, partial derivative equations,...) in relation with various problems in physics : field theory and high energy physics, condensed matter, Schrödinger equations and scattering theory...

Quantum Gravity

To formulate a coherent quantum theory of general relativity and therefore of gravity remains a challenge for theoretical physics. A new approach based on random tensors has been developed in the recent years at LPT. It generalizes the random matrices approach to two dimensional quantum gravity and is also located at the crossroad of several other approaches, such as group field theory (second-quantized version of loop quantum gravity) and dynamic triangulations. It is based on a discretization of space-time in which colored random triangulations appear as the dual Feynman graphs of a theory of tensor fields. Using a new type of so-called « 1/N expansion », several renormalizable tensor field theories were discovered, which generalize non-commutative field theories and may lead to an understanding of our space-time as an emergent phenomenon .

Non-commutative geometry

Non-commutative geometry stems from quantum mechanics, where observables generate a non-commutative algebra. In non-commutative differential geometry, the algebras of differentiable fonctions on manifolds are replaced by non-commutative algebras interpreted as algebras of differentiable fonctions on "non-commutative manifolds". The group of mathematical physics is among the founders of non-commutative geometry. In this new geometry, gauge fields and metrics can be defined on a "non-commutative space". Some of these gauge theories can be interpreted as ordinary gauge theories with Higgs fields. The group studies these geometries, enriches them with new structures and applies this new tools to fundamental physics for a quantum theory of space-time and matter.

Quantum groups

The theory of quantum groups and of their representations is important in mathematics and in mathematical physics. This theory, which is a branch of noncommutative geometry, has been studied in the LPT from the very beginning of its creation. The present researches in the LPT are devoted to the theory of representations of quantum groups of infinite type such as the affine and toroidal quantum algebras, to the Weil homomorphism for quantum bundles with quantum groups as "structure groups". A new family of quantum groups connected with noncommutative algebraic geometry has been introduced.

Homological algebra and generalizations

With the BRS methods, the homological algebra is among the mathematical theories frequently used in theoretical physics. The LPT has contributed to compute the local BRS cohomology of gauge theories and the homological description of constrained dynamical systems.

The N-complex theory and the corresponding generalisation of the homology have been developed. Examples of such N-complexes arise in connection with higher spin gauge theories, i.e. the N-complexes of tensorial fields with mixed Young symmetries (arrays with N-1 columns). Another class consists in N-complexes associated canonically with the homogenous algebras, which are prototypes of coordinate algebras for non-commutative algebraic geometry.

Constructive theory

Constructive theory aims at rigorously summing perturbative quantum field theory. Applications can focus on high-energy physics and condensed matter. In condensed matter, Salmhofer’s criterion for interacting Fermi liquids in 3 dimensions above their critical condensation temperature is studied in a non-perturbative way. The loop vertex expansion is a new constructive method developed at LPT which is adapted to the study of non-local interactions. Applications can cover both quantum gravity and non-commutative quantum field theory. Statistical mechanics on random graph is also studied as an application of the theory of random tensors.

Non-linear partial differential equations

Research was performed on mathematical problems linked to non-linear (rather semi-linear) equations of physical interest : non-linear Schrödinger and Klein-Gordon equations, Hartree equations, coupled equations like the Zacharov and the Maxwell-Schrödinger systems. The problems considered were essentially Cauchy’s problem, local or gloabl in time, and the scattering problem, i.e., the existence of wave operators and the asympotic completeness (in the few cases where it is accessible). After works on the non-linear Schödinger equations in any dimension and with a general form of interactions, the current research is focused on the long-range scattering and the construction of modified wave operators for the Maxwell-Schrödinger system, which describes a charged quantum particle interacting with its own electromagnetic field.