Classification des polyèdres convexes réguliers à l’aide la caractéristique d’Euler

Contraintes : 
V-A+F=2
2 A = v V = vp F

Polyedres[v_,vp_,A_]=(2/v -1 +2/vp)A-2

V[A_,v_]=2 A/v

F[A_,vp_]=2 A/vp

Aeff[v_,vp_]=2/(2/v -1 +2/vp);

Resultat[input_]:=Module[{v,vp,Vi,Ai,Fi,res},v=input[[1]];vp=input[[2]];Ai=Aeff[v,vp];Vi=V[Ai,v];Fi=F[Ai,vp];If[IntegerQ[Ai]&&Ai>0&&IntegerQ[Vi] &&Vi>0&&IntegerQ[Fi]&&Fi>0,res={v,vp,Vi,Ai,Fi},res=0];res];

inputTetraedre={3,3};Resultat[inputTetraedre]

inputCube={3,4};Resultat[inputCube]

inputOctaedre={4,3};Resultat[inputOctaedre]

inputDodecaedre={3,5};Resultat[inputDodecaedre]

inputIcosaedre={5,3};Resultat[inputIcosaedre]

On utilise la fonction Length comme paramètre de contrôle

Length[{}]

Length[{1,2,3}]

Append[{{a,b}},{1,2}]

Tableau={};Off[General::infy];Do[Do[inputi={v,vp};resi=Resultat[inputi];Drapeau=Length[resi];(*Print[resi];Print[Drapeau];*)If[Drapeau>0,Tableau=Append[Tableau,resi]],{v,3,10}],{vp,3,10}];On[General::infy];Tableau

titre={{v,v',V,A,F}}

TableauFinal=Join[titre,Tableau]

Grid[TableauFinal]

<<PolyhedronOperations`;

Dessin des arêtes cachées

Size=250;Dessine[Pol_]:=Module[{Dessin},
If[Dimensions[Pol]=={},Dessin=Graphics3D[{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[0.7]}],PolyhedronData[Pol,"Faces"]},Boxed->False]];
If[Dimensions[Pol]=={2},
Dessin=Graphics3D[{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[0.7]}],PolyhedronData[Pol[[1]],"Faces"]},Boxed->False,ImageSize->Pol[[2]]]];
If[Dimensions[Pol]=={3},
Dessin=Graphics3D[{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[0.7]}],PolyhedronData[Pol[[1]],"Faces"]},Boxed->False,ImageSize->Pol[[2]],ViewPoint->Pol[[3]]]];If[Dimensions[Pol]=={4},
Dessin=Graphics3D[Translate[{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[0.7]}],PolyhedronData[Pol[[1]],"Faces"]},Pol[[4]]],Boxed->False,ImageSize->Pol[[2]],ViewPoint->Pol[[3]]]];
(*If[Dimensions[Pol]!={} And Dimensions[Pol]!={2},Dessin=ERROR];*)Dessin];

GraphicsRow[Dessine/@{{"Tetrahedron",30},{"Octahedron",100},{"Hexahedron",10},"Dodecahedron","Icosahedron"}]

strange behaviour of GraphicsRow:

space=Invisible[Dessine[{"Tetrahedron",100}]];

par=150;200/160

par=100;Tet=Dessine[{"Tetrahedron",par,{200,1000,200}}];Oct=Dessine[{"Octahedron",par,{100,1000,200}}];
Hex=Dessine[{"Hexahedron",4/5 par,{100,1000,200}}];
Dode=Dessine[{"Dodecahedron",par,{100,1000,200}}];Ico=Dessine[{"Icosahedron",par,{100,1000,200}}];Row[{Tet,space,Oct,space,Hex,space,Dode,space,Ico}]

Export["~/Documents/LPT/enseignement/14-15/M1-symetries/cours-SW-preparation/Platon.eps",Row[{Tet,space,Oct,space,Hex,space,Dode,space,Ico}],ImageResolution->1000]

par=150;Tet=Dessine[{"Tetrahedron",par,{200,1000,200}}];Oct=Dessine[{"Octahedron",par,{100,1000,200}}];
Hex=Dessine[{"Hexahedron",4/5 par,{100,1000,200}}];
Dode=Dessine[{"Dodecahedron",par,{100,1000,200}}];Ico=Dessine[{"Icosahedron",par,{100,1000,200}}];Row[{space,space,Tet,space,Oct,space,Hex,space,Dode,space,Ico}]

GraphicsRow[{Tet,Oct,Hex,Dode,Ico}]

Tet=Dessine[{"Tetrahedron",100,{200,1000,200}}];Oct=Dessine[{"Octahedron",100,{100,1000,200}}];
Cube=Dessine[{"Cube",80,{100,1000,200}}];
Dode=Dessine[{"Dodecahedron",100,{100,1000,200}}];Ico=Dessine[{"Icosahedron",100,{100,1000,200}}];GraphicsRow[{Tet,Oct,Cube,Dode,Ico}]

Les cinq polyèdres réguliers convexes

S=11;t1=.45;t2=.8;topos1=.3;topos2=.3;p1=.48;p2=.2;popos1=.2;popos2=.5;Si=Automatic;Ran={{-2,2},{-2,2},{-2,2}};Ax=False;Bo=False;a0=2.5;op=.7;

Tétraèdre

T1=PolyhedronData["Tetrahedron","Faces"];T12=Map[Function[x ,a x],T1];T13=T12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];T14=T13/.a->3;

T=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[T14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Tétraèdre",S],{t1,t2},{topos1,topos2}],Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputTetraedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GraphicsRow[{PolyhedronData["Tetrahedron","NetImage"],PolyhedronData["Tetrahedron","SkeletonImage"]}]

Octaèdre

Oc1=PolyhedronData["Octahedron","Faces"];Oc12=Map[Function[x ,a x],Oc1];Oc13=Oc12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];Oc14=Oc13/.a->2.6;

Oc=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Oc14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Octaèdre",S],{t1,t2},{topos1,topos2}],Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputOctaedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GraphicsRow[{PolyhedronData["Octahedron","NetImage"],PolyhedronData["Octahedron","SkeletonImage"]}]

Icosaèdre

Ic1=PolyhedronData["Icosahedron","Faces"];Ic12=Map[Function[x ,a x],Ic1];Ic13=Ic12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];Ic14=Ic13/.a->1.9;

Ic=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Ic14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Icosaèdre",S],{t1,t2},{topos1,topos2}],Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputIcosaedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GraphicsRow[{PolyhedronData["Icosahedron","NetImage"],PolyhedronData["Icosahedron","SkeletonImage"]}]

Cube

Cube1=PolyhedronData["Cube","Faces"];Cube12=Map[Function[x ,a x],Cube1];Cube13=Cube12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];Cube14=Cube13/.a->2.2;

Cube=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Cube14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Cube",S],{t1,t2},{topos1,topos2}],Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputCube]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GraphicsRow[{PolyhedronData["Cube","NetImage"],PolyhedronData["Cube","SkeletonImage"]}]

Dodécaèdre

a0=.8;Dode1=PolyhedronData["Dodecahedron","Faces"];Dode12=Map[Function[x ,a x],Dode1];Dode13=Dode12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];Dode14=Dode13/.a->1.3;

Dode=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Dode14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Dodécaèdre",S],{t1,t2},{topos1,topos2}],Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputDodecaedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2},.5]},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GraphicsRow[{PolyhedronData["Dodecahedron","NetImage"],PolyhedronData["Dodecahedron","SkeletonImage"]}]

GraphicsRow[{T,Oc,Ic,Cube,Dode}]

Les quatre polyèdres réguliers non convexes

S=11;t1=.45;t2=.8;topos1=.3;topos2=.3;p1=.48;p2=.2;popos1=.2;popos2=.5;Si=Automatic;Ran={{-2,2},{-2,2},{-2,2}};Ax=False;Bo=False;a0=2.5;op=1;

Grand dodécaèdre (dual du petit dodécaèdre étoilé)

GD1=PolyhedronData["GreatDodecahedron","Faces"];GD12=Map[Function[x ,a x],GD1];GD13=GD12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];GD14=GD13/.a->2;

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[GD14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GD=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[GD14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Grand dodécaèdre",S],{t1,t2},{topos1,topos2}](*,Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputTetraedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]*)},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

12 faces pentagonales, avec cinq pentagones se rencontrant à chaque sommet, se coupant les uns les autres en créant un trajet pentagrammique.
Sommets: 12 
Arêtes: 30
Faces: 12 pentagones
χ=-6

En comptant tous les sommets et toutes les arêtes :
Sommets : 12 + 5 x 12/3 = 32
Arêtes : 30+20 x 3 = 90
Faces : 60 triangles (5 par face pentagonale)

χ = 32 - 90 + 60 = 2 :  on retrouve la caractéristique d’Euler

ou encore (point de vue local centré sur les nouveaux sommets) : on passe de -6 à -6 + 20 x 1 - 12  = 2

L'enveloppe convexe du grand dodécaèdre est un icosaèdre régulier; son noyau convexe est un dodécaèdre régulier. Le grand dodécaèdre est donc une stellation du dodécaèdre régulier.

Enlever les parties concaves conduit à l’icosaèdre. De même, une stellation (par mathematica !?!) donne l’icosaèdre :

(* ratio = 2.2 ??? *)
Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo]

Les squelettes du grand dodécaèdre et de l’icosaèdre sont identiques :

GraphicsRow[{PolyhedronData["Icosahedron","SkeletonImage"],PolyhedronData["GreatDodecahedron","SkeletonImage"]}]

Petit dodécaèdre étoilé (dual du grand dodécaèdre)

PDE1=PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron","Faces"];PDE12=Map[Function[x ,a x],PDE1];PDE13=PDE12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];PDE14=PDE13/.a->3;

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[PDE14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Boxed->Bo,ImageSize->Si]

PDE=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[PDE14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Petit dodécaèdre étoilé",S],{t1,t2},{topos1,topos2}](*,Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputTetraedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]*)},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

12 faces pentagrammiques, avec 5 pentagrammes se rencontrant à chaque sommet.
Sommets: 12 de degré 5
Arêtes: 30
Faces: 12 pentagrammes
χ=-6

En comptant tous les sommets et toutes les arêtes :
Sommets : 12 + 5 x 12/3 = 32
Arêtes : 30 x 3 = 90
Faces : 60 triangles (5 par face pentagrammique)

χ = 32 - 90 + 60 = 2 :  on retrouve la caractéristique d’Euler

ou encore (point de vue local centré sur les nouveaux sommets) : on passe de -6 à -6 + 20 x 5/2 - 12 - 30 = 2

-6+20 5/2-12-30

L'enveloppe convexe du petit dodécaèdre étoilé est un icosaèdre régulier; son noyau convexe est un dodécaèdre régulier. C’est donc une stellation du dodécaèdre régulier.

C'est une stellation (par mathematica !?! OK selon moi) du dodécaèdre :

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Dodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo](* ratio = 2.2 ??? *)

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Dodecahedron"],2.6]]},Boxed->Bo](* ratio = 2.2 ??? *)

Les squelettes du petit dodécaèdre étoilé et de l’icosaèdre sont identiques :

GraphicsRow[{PolyhedronData["Icosahedron","SkeletonImage"],PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron","SkeletonImage"]}]

Grand dodécaèdre étoilé (dual du grand isocaèdre)

GDE1=PolyhedronData["GreatStellatedDodecahedron","Faces"];GDE12=Map[Function[x ,a x],GDE1];GDE13=GDE12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];GDE14=GDE13/.a->3.5;

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[GDE14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GDE=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[GDE14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Grand dodécaèdre étoilé",S],{t1,t2},{topos1,topos2}](*,Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputTetraedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]*)},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

Il est composé de 12 faces pentagrammiques, avec 3 pentagrammes se rencontrant à chaque sommet.
Sommets: 20 de degré 12
Arêtes: 30
Faces: (60 triangles) 12
χ=2

En comptant tous les sommets et toutes les arêtes :
Sommets : 20 + 12 x 5/5 = 32
Arêtes : 30 x 3 = 90
Faces : 60 triangles (5 par face pentagrammique)

χ = 32 - 90 + 60 = 2 :  on retrouve la caractéristique d’Euler

ou encore (point de vue local centré sur les nouveaux sommets) : on passe de 2 à 2 + 12 x 7/2 - 12 - 30 = 2

12 7/2-12-30

L'enveloppe convexe du grand dodécaèdre étoilé est un dodécaèdre régulier; son noyau convexe est un icosaèdre régulier.
Pas clair car le grand dodécaèdre étoilé est censé être une stellation du dodécaèdre régulier.

C'est une stellation (par mathematica !?!) de l’isocaèdre :

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Icosahedron"],3]]},Boxed->Bo](* ratio = 3 ??? *)

Les squelettes du grand dodécaèdre étoilé et du dodécaèdre sont identiques :

GraphicsRow[{PolyhedronData["Dodecahedron","SkeletonImage"],PolyhedronData["GreatStellatedDodecahedron","SkeletonImage"]}]

Grand icosaèdre (dual du grand dodécaèdre étoilé)

GIc1=PolyhedronData["GreatIcosahedron","Faces"];GIc12=Map[Function[x ,a x],GIc1];GIc13=GIc12/.a Polygon[x_]->Polygon[x];GIc14=GIc13/.a->3.3;

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[GIc14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Boxed->Bo,ImageSize->Si]

GIc=Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[GIc14]},PlotRange->Ran,Axes->Ax,Epilog->{Inset[Style["Grand icosaèdre",S],{t1,t2},{topos1,topos2}](*,Inset[Grid[Join[titre,{Resultat[inputTetraedre]}]],{p1,p2},{popos1,popos2}]*)},Boxed->Bo,ImageSize->Si]

Il est composé de 20 faces triangulaires, avec 5 triangles se rencontrant à chaque sommet dans une suite pentagrammique.
Sommets: 12 de degré 5
Arêtes: 30
Faces: 20 triangles
χ=2

ou encore (point de vue local centré sur les nouveaux sommets en creux) : on passe de 2 à 2 + 60(-1/6) + 30 -20 = 2

2+60(-1/6)+30-20

L'enveloppe convexe du grand icosaèdre est un icosaèdre régulier; son noyau convexe est un icosaèdre régulier (SW, je devine par cohérence, mais ne vois pas !!???). Ce serait donc une stellation de l’icosaèdre régulier.

Enlever les parties concaves conduit au petit dodécaèdre étoilé. De même, une de ses stellation donne le petit dodécaèdre étoilé :

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatIcosahedron"],3]]},Boxed->Bo](* ratio = 3 ??? *)

L’enveloppe convexe, qui consiste ici à joindre les sommets les plus proches (en distance) conduit à l'icosaèdre (SW).
avis basé sur le texte http://maths.ac-noumea.nc/polyhedr/no_conv1.htm

Les squelettes du grand icosaèdre et de l’icosaèdre sont identiques :

GraphicsRow[{PolyhedronData["Icosahedron","SkeletonImage"],PolyhedronData["GreatIcosahedron","SkeletonImage"]}]

GraphicsRow[{Ic,GIc}]

L'enveloppe convexe du petit dodécaèdre étoilé est un icosaèdre régulier; son noyau convexe est un dodécaèdre régulier. C'est le contraire pour le grand dodécaèdre étoilé. Les deux polyèdres de Kepler s'obtiennent donc en assemblant une pyramide régulière (à base pentagonale ou triangulaire) sur chaque face d'un dodécaèdre ou d' un icosaèdre.

Stellation des 5 solides de Platon

cf http://maths.ac-noumea.nc/polyhedr/no_conv3.htm:
Le plan de chaque face d'un polyèdre coupe souvent les plans d'autres faces non adjacentes. 
On obtient ainsi de nouveaux polyèdres, généralement non convexes, par "stellations" successives. 
Plus précisément, deux polyèdres sont des stellations l'un de l'autre, si leur faces sont incluses dans le même ensemble de plans. 

Des stellations différentes peuvent paraître identiques, avec des parties de faces cachées, mais une seule est formée de toutes les parties visibles.

	Les trois stellations successives du dodécaèdre régulier conduisent au petit dodécaèdre étoilé (12 pentagones étoilés, mais 60 triangles visibles), puis au grand dodécaèdre (12 pentagones convexes, et encore 60 triangles visibles), et enfin au grand dodécaèdre étoilé (à nouveau 12 pentagones étoilés, et toujours 60 triangles visibles).

	Quant au grand icosaèdre (20 triangles équilatéraux, 120 + 60 triangles visibles), Cauchy a prouvé que c'est l'une des 59 stellations de l'icosaèdre régulier, parmi lesquelles on trouve aussi les composés de cinq tétraèdres, de dix tétraèdres, et de cinq octaèdres. La stellation de l'octaèdre régulier est l’étoile de Kepler (anticube) composée de deux tétraèdres (24 triangles équilatéraux visibles). La première stellation de l'icosaèdre régulier a vingt faces hexagonales non régulières (60 triangles visibles). La première stellation du dodécaèdre rhombique est un solide composé de trois octaèdres identiques non réguliers, "aplatis" selon une diagonale (48 triangles visibles); il est surprenant de découvrir qu'il réalise un pavage de l' espace.

Tétraèdre: sa stellation est le cube

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Tetrahedron"],3]]},Boxed->Bo]

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Tetrahedron"],3]]},Boxed->Bo]

Octaèdre: sa stellation est la combinaison de deux tétraèdres

op=.7;

GraphicsRow[{Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[PolyhedronData["Octahedron"]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Octahedron"],3]]},Boxed->Bo]}]

Cube

GraphicsRow[{Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Cube14]},PlotRange->Ran,Boxed->Bo,Axes->Ax],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Cube"],2]]},Boxed->Bo]}]

Dodécaèdre:

Le dodécaèdre régulier est entouré de trois couches de cellules bornées : 12 pyramides pentagonales d'or, puis 30 coins (tétraèdres) qui s'insèrent entre les pyramides, et enfin 20 pointes (bipyramides triangulaires) qui s'ajustent entre les coins.
voir les animations sur le site:
http://maths.ac-noumea.nc/polyhedr/stell_dod.htm

sa première stellation est le petit dodécaèdre étoilé

idée : on prolonge les faces du dodécaèdre (qui sont des pentagones), en des pentagrammes, de sortent qu'elles se coupent. Ce prolongement fait apparaître des pyramides à base pentagonale sur chaque face, dont les intersections constituent les sommets du petit dodécaèdre étoilé. 
On ajoute ainsi 12 pyramides pentagonales d’or.

GraphicsRow[{Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Dode14]},PlotRange->Ran,Boxed->Bo,Axes->Ax],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Dodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron"]]},Boxed->Bo]}](* ratio pour la stellation = 2.2 ??? *)

sa deuxième stellation est le grand dodécaèdre

idée : on prolonge les faces du petit dodécaèdre étoilé (qui sont des pentagrammes), en des pentagones, de sorte qu'elles se coupent.  Ce prolongement fait apparaître des pyramides à base pentagrammiques sur chaque face, dont les intersections constituent les sommets du grand dodécaèdre (ces sommets sont les mêmes que ceux du petit dodécaèdre étoilé). 
On ajoute ainsi 30 coins (tétraèdres) qui s’insèrent entre les pyramides.

GraphicsRow[{Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Dode14]},PlotRange->Ran,Boxed->Bo,Axes->Ax],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Dodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[PolyhedronData["GreatDodecahedron"]]},Boxed->Bo]}](* ratio pour la stellation = 2.2 ??? *)

sa troisième stellation est le grand dodécaèdre étoilé

idée : on prolonge les faces du grand dodécaèdre (qui sont des pentagones), en des pentagrammes, de sorte qu'elles se coupent.  Ce prolongement fait apparaître des pyramides à base triangulaire, dont les intersections constituent les sommets du grand dodécaèdre étoilé ainsi obtenu. 
On ajoute ainsi 20 pointes (bipyramides triangulaires) qui s’ajustent entre les coins.

GraphicsRow[{Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Normal[Dode14]},PlotRange->Ran,Boxed->Bo,Axes->Ax],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Dodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],2.8]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[PolyhedronData["GreatStellatedDodecahedron"]]},Boxed->Bo]}](* ratio = 2.2 ??? *)

Il semble y avoir un bug dans mathematica : cette stellation n'est pas correcte :

GraphicsRow[{Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[1]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],1]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[1]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],1.4]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[1]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],1.8]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[1]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],2.2]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[1]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],2.6]]},Boxed->Bo],Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[1]}],First[Stellate[PolyhedronData["GreatDodecahedron"],4]]},Boxed->Bo]}]

Icosaèdre:

une de ses stellations est le grand dodécaèdre étoilé

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],First[Stellate[PolyhedronData["Icosahedron"],3]]},Boxed->Bo](* ratio = 3 ??? *)

une de ses stellations est le grand icosaèdre

GIc

La molécule de fullerène

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],PolyhedronData["Icosahedron","Faces"]},Axes->Ax,Boxed->Bo]

On tronque des calottes autour des chacun des 12 sommets d’un icosaèdre: 
12 pentagones (les sommets remplacés par les calottes) et 20 hexagones (les 20 faces de l’icosaèdre)

Graphics3D [{EdgeForm[{Thick,Black}],FaceForm[{Opacity[op]}],Truncate[PolyhedronData["Icosahedron","Faces"],1/3]},Axes->Ax,Boxed->Bo]