D3,s et D3,l ne sont pas conjugués dans GL2(ℤ)

Les groupes D3,s et D3,l

Id={{1,0},{0,1}};

Matrice de rotation d' angle π/3 dans la base {t1, t2} :

M2rot={{0,-1},{1,-1}};M2rot//MatrixForm

prod3=M2rot.M2rot.M2rot;prod3//MatrixForm

Matrice de la réflexion par rapport à l’axe formant un angle π/6 par rapport à t1:

M2l={{1,0},{1,-1}};M2l//MatrixForm

M2lcarre=M2l.M2l;M2lcarre//MatrixForm

Matrice de la réflexion par rapport à l’axe de la grande (“l”) diagonale du losange { t1,t2}:

Al=M2l.M2rot;Al//MatrixForm

Matrice de la réflexion par rapport à l’axe formant un angle 0 par rapport à t1:

M2s={{1,-1},{0,-1}};M2s//MatrixForm

M2scarre=M2s.M2s;M2scarre//MatrixForm

Matrice de la réflexion par rapport à l’axe de la petite (“s”) diagonale du losange { t1,t2}:

As=M2rot.M2s;As//MatrixForm

D3,l :

Map[MatrixForm,{Id,M2rot,M2rot.M2rot,M2l,M2l.M2rot,M2rot.M2l}]

D3,s :

Map[MatrixForm,{Id,M2rot,M2rot.M2rot,M2s,M2s.M2rot,M2rot.M2s}]

Conjecture : on cherche à conjuguer les éléments de D3,s et D3,l  par une matrice A de GL2(ℤ)

A={{a,b},{c,d}};A//MatrixForm

prodAAs=A.As;prodAAs//MatrixForm

prodAlA=Al.A;prodAlA//MatrixForm

Après résolution de A.As = Al.A, restent deux solutions intéressantes :

Conj1={{0,1},{-1,0}};Conj1//MatrixForm

Conj2={{1,0},{0,-1}};Conj2//MatrixForm

On conjugue l'élément M2s de D3s :

Conj1.M2s.Inverse[Conj1]//MatrixForm

Conj2.M2s.Inverse[Conj2]//MatrixForm

Aucun de ces deux éléments ne fait partie de D3,l

Donc D3,s et D3,l ne sont pas conjugués sous GL2(ℤ)

D1,p et  D1,c ne sont pas conjugués dans GL2(ℤ)

Les groupes D1,p et D1,c

Id={{1,0},{0,1}};

Mfp={{1,0},{0,-1}};Mfp//MatrixForm

Mfc={{0,1},{1,0}};Mfc//MatrixForm

D1,p :

Map[MatrixForm,{Id,Mfp}]

D1,c :

Map[MatrixForm,{Id,Mfc}]

Conjecture : on cherche à conjuguer les éléments de D1,p et  D1,c par une matrice A de GL2(ℤ)

A={{a,b},{c,d}};A//MatrixForm

A.Mfp//MatrixForm

Mfc.A//MatrixForm

On écrit A.Mfp = Mfc.A, ce qui donne d=-b et c=a.

Or Det[A] = a d - b c = -2 a b = ±1 est impossible avec a et b entiers

D2,p et  D2,c ne sont pas conjugués dans GL2(ℤ)

Les groupes D2,p et D2,c

Id={{1,0},{0,1}};

Mrot={{-1,0},{0,-1}};Mrot//MatrixForm

Mfp={{1,0},{0,-1}};Mfp//MatrixForm

Mfc={{0,1},{1,0}};Mfc//MatrixForm

D2,p :

Map[MatrixForm,{Id,Mrot,Mfp,Mrot.Mfp}]

D2,c :

Map[MatrixForm,{Id,Mrot,Mfc,Mrot.Mfc}]

On vérifie que Mrot.Mfc n’est pas conjugué à Mfp par une matrice A de GL2(ℤ)

Mfp//MatrixForm

A.Mfp//MatrixForm

Mrot.Mfc//MatrixForm

Mrot.Mfc.A//MatrixForm

On écrit A.Mfp = Mrot.Mfc.A, ce qui donne d=b et c=-a.

Or Det[A] = a d - b c = 2 a b = ±1 est impossible avec a et b entiers